Vad betyder saknar reella lösningar
Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal). I ett tidigare avsnitt gick vi igenom polynom och kom fram till att ett polynoms gradtal bestäms av den variabelterm som har störst exponent. Har ett polynom gradtalet 2, så kallar vi det ett andragradspolynom. En ekvation vars ena led utgörs av ett andragradspolynom och vars andra led är lika med noll kallar vi en andragradsekvation.
Det här är en mycket viktig typ av ekvation som förekommer i många olika sammanhang och därför ska vi ägna det här och efterföljande avsnitt åt att närmare undersöka just andragradsekvationer. Som vanligt skriver vi inte ut 1 när ettan står framför ett x. Det är alltså en funktion, där själva funktionsuttrycket utgörs av ett andragradspolynom. Utifrån vårt tidigare använda exempelpolynom ovan kan vi ha en andragradsfunktion som ser ut så här.
pq-formeln
Det är inte alltid så att en andragradsekvation som vi träffar på står i just denna form från början, men för att vara en andragradsekvation ska vi kunna skriva om den så att den står enligt den här formen. Till exempel förekommer det att det inte står 0 i det högra ledet, utan till exempel en konstantterm. I sådana situationer får vi då först subtrahera konstanttermen från båda leden, för att få det högra ledet lika med noll.
Exakt vilka räkneoperationer vi behöver ta till för att få andragradsekvationen att stå på den önskade formen varierar från fall till fall.
Vi ska nu titta närmare på förhållandet mellan en andragradsekvation och motsvarande andragradsfunktion, och hur vi kan använda detta för att lösa andragradsekvationer och hitta särskilt intressanta variabelvärden då vi studerar en andragradsfunktion. Skriver vi ut dessa värden vilket vi vanligtvis inte brukar göra får vi följande:. Om vi skissar denna andragradsfunktions graf i ett koordinatsystem , så ser vi att den ser ut så här:.
En funktion vars graf ser ut så här kallas för en parabel och är en ickelinjär funktion. En punkt där funktionen antar sitt minsta värde i ett intervall kallas för en minimipunkt. När vi har en andragradsfunktion med en positiv koefficient framför x ² -termen kommer funktionen alltid att ha en minimipunkt för något x -värde. Om vi istället tittar på en andragradsfunktion som har en negativ koefficient framför x ² -termen, som till exempel funktionen nedan som har koefficienten -1, men vi skriver det så här:.
En andragradsfunktion som har en negativ koefficient framför x ² -termen har alltid en maximipunkt för något x -värde. Ett samlingsnamn för maximi- och minimipunkter är extrempunkter. I många sammanhang är vi intresserad av att hitta just det största eller minsta värdet som en funktion kan anta. Det finns en enkel minnesregel för att komma ihåg om en andragradsfunktion har en minimipunkt eller en maximipunkt.
Andragradsekvationer
En positiv koefficient framför x² -termen ger en skissad graf som liknar en glad positiv mun, som därför kommer att ha en minimipunkt. På motsvarande sätt gäller att en negativ koefficient framför x² -termen ger en skissad graf som liknar en ledsen negativ mun, varför dessa funktioner kommer att ha en maximipunkt. Dessa två x -värden kallas för funktionens nollställen och är lösningar även kallade rötter till den motsvarande andragradsekvationen:.
Dess lösningar är det värde eller de värden på variabeln som gör att andragradspolynomet blir lika med noll. Att lösa en andragradsekvation på detta sätt, genom att skissa upp funktionens graf i ett koordinatsystem och sedan läsa av nollställena, kallas för att lösa ekvationen grafiskt. En lösning till en andragradsekvation som ligger på den reella tallinjen kallas för en reell lösning.
Som vi ser i koordinatsystemet, skär denna kurva aldrig x -axeln. Att ekvationen saknar reella lösningar innebär att det inte finns några reella värden som vi kan tilldela variabeln så att ekvationens båda led blir lika med noll. Vad vi nu har kommit fram till är de tre olika situationer som kan uppkomma då vi försöker att lösa en andragradsekvation:. Antingen har ekvationen två reella lösningar , en reell lösning eller också ingen reell lösning.
Dessa situationer motsvarar att andragradsfunktionen har två nollställen , bara ett nollställe eller inget nollställe alls. En andragradsfunktion är alltid symmetrisk kring en symmetrilinje , vilket innebär att kurvan till vänster om symmetrilinjen är en exakt spegelbild av kurvan till höger om symmetrilinjen. En andragradsfunktions symmetrilinje är alltid vertikal och parallell med y -axeln.
En andragradsfunktions extrempunkt ligger dessutom alltid på symmetrilinjen. Den kommer alltid att ligga precis mittemellan eventuella nollställen som funktionen har. Det här är en användbar egenskap, för om vi känner till funktionens eventuella nollställen, då kan vi också räkna ut var symmetrilinjen ligger, vilket i sin tur identifierar funktionens extrempunkt.
Genom att räkna ut medelvärdet av nollställena så får vi alltså fram symmetrilinjen. Vi ska nu använda oss av denna egenskap för att identifiera extremvärdet för en funktion som vi stött på tidigare i det här avsnittet, nämligen. Eftersom vi vet att symmetrilinjen ska ligga mittemellan dessa båda nollställen, får vi att symmetrilinjens x -värde kan beräknas enligt. Funktionens extrempunkt ska ligga någonstans längs denna vertikala linje.
Ritar vi in symmetrilinjen i vårt koordinatsystem så ser vi att den hamnar mittemellan funktionens nollställen och skär kurvan i funktionens minimipunkt:. Andragradsekvationer Teori Videolektion Begrepp Övningar I ett tidigare avsnitt gick vi igenom polynom och kom fram till att ett polynoms gradtal bestäms av den variabelterm som har störst exponent. Vad vi nu har kommit fram till är de tre olika situationer som kan uppkomma då vi försöker att lösa en andragradsekvation: Antingen har ekvationen två reella lösningar , en reell lösning eller också ingen reell lösning.